الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

خطوة 3

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{4 - x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$4 - x \geq 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $4$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x \geq - 4$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $- x \geq - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $- x \geq - 4$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x \leq 4$

خطوة 5

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 6.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 6.3

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 6.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 6.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 3, 3$

خطوة 6.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

خطوة 6.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 6.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

خطوة 6.6.1.3

الطرف الأيسر $27$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 6.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

خطوة 6.6.2.3

الطرف الأيسر $- 9$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 6.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 6.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

خطوة 6.6.3.3

الطرف الأيسر $27$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < 3$ خطأ

$x > 3$ صحيحة

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < 3$ خطأ

$x > 3$ صحيحة

خطوة 6.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 3$ أو $x \geq 3$

خطوة 7

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

خطوة 8

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

لا يوجد حل

خطوة 9

حدد النطاق والمدى.

لا يوجد حل

خطوة 10